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Quando studiamo l'atomo di idrogeno attraverso l'equazione di Schrödinger, otteniamo una soluzione che predice energie quantizzate dipendenti principalmente dal numero quantico principale $n$:
\begin{equation*}
E_n = -\frac{Z^2}{2n^2}\alpha^2 mc^2
\end{equation*}
dove $\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} \approx \frac{1}{137}$ è la costante di struttura fine e $Z$ è il numero atomico.
Tuttavia, precise misurazioni spettroscopiche rivelano che i livelli energetici mostrano una struttura più complessa di quella prevista dalla semplice soluzione di Schrödinger. Per esempio, il livello $n=2$, che secondo Schrödinger dovrebbe essere composto da stati $2s$ e $2p$ degeneri (stessa energia), in realtà si divide in sottolivelli distinti. Questa suddivisione, nota come "struttura fine", richiede un'analisi più approfondita dei contributi energetici trascurati nell'equazione di Schrödinger.
In questo articolo, esploreremo le correzioni di struttura fine derivanti dalla teoria relativistica e comprenderemo come modifichino lo spettro energetico dell'atomo di idrogeno.
L'equazione di Dirac fornisce una descrizione relativisticamente corretta dell'elettrone, ma è possibile ottenere un'approssimazione valida nel limite non relativistico espandendo l'Hamiltoniana di Dirac. Nel limite in cui $v \ll c$, l'Hamiltoniana completa può essere scritta come:
\begin{equation*}
H = mc^2 + \frac{p^2}{2m} + V(r) - \frac{p^4}{8m^3c^2} + \frac{1}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S} + \frac{\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2 V(r)
\end{equation*}
dove:
Il potenziale coulombiano nell'atomo di idrogeno è:
\begin{equation*}
V(r) = -\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}
\end{equation*}
Analizzeremo ciascun termine correttivo separatamente, sommandoli tutti assieme troveremo la correzione dell'energia, vedendo così come si modificano i livelli energetici forniti dall'equazione di Schrödinger.
La prima correzione derivante dalla relatività riguarda l'energia cinetica. Per un elettrone relativistico, l'energia totale è data da:
\begin{equation*}
E = \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} = mc^2\sqrt{1 + \frac{p^2}{m^2c^2}}
\end{equation*}
Nel limite non relativistico ($p \ll mc$), possiamo espandere la radice quadrata:
\begin{equation*}
E \approx mc^2\left(1 + \frac{1}{2}\frac{p^2}{m^2c^2} - \frac{1}{8}\frac{p^4}{m^4c^4}\right) = mc^2 + \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3c^2}
\end{equation*}
Il termine $-\frac{p^4}{8m^3c^2}$ rappresenta quindi la correzione relativistica all'energia cinetica.
Per calcolare il contributo di questo termine in teoria perturbativa, dobbiamo valutare il valore di aspettazione sui ket non perturbati $|n,l,m\rangle$. Siccome i ket imperturbati hanno valori energetici degeneri, bisogna usare la teoria perturbativa degenere, quindi bisogna trovare tutti i termini di matrice della perturbazione ed eventualmente diagonalizzare. Possiamo riscrivere $p^2$ in termini dell'Hamiltoniana non perturbata $H_0$:
\begin{equation*}
p^2 = 2m(H_0 - V(r))
\end{equation*}
Questo implica:
\begin{equation*}
p^4 = 4m^2(H_0^2 + V(r)^2 - H_0V(r) - V(r)H_0)
\end{equation*}
Il valore di aspettazione del termine perturbativo $W_{REL} = -\frac{p^4}{8m^3c^2}$ è quindi:
\begin{equation*}
\langle n,l,m|W_{REL}|n,l,m\rangle = -\frac{1}{2mc^2}\left[E_n^2 + Z^2\hbar^2c^2\alpha^2\langle n,l,m|\frac{1}{r^2}|n,l,m\rangle + 2E_nZ\hbar c\alpha\langle n,l,m|\frac{1}{r}|n,l,m\rangle\right]
\end{equation*}
Notiamo che questo termine, per come abbiamo riscritto l'operatore $p^4$, è già diagonale, infatti nella parte in cui sono presenti $\frac{1}{r}$ e $\frac{1}{r^2}$, le armoniche sferiche fanno sì che ad $n$ fissato la perturbazione sia diagonale. Ricordiamo che, per livelli energetici differenti, la teoria perturbativa trascura le correzioni. Il fatto che sia già diagonale semplifica di molto la trattazione. Ora dobbiamo calcolare i valori di aspettazione di $\langle\frac{1}{r}\rangle$ e $\langle\frac{1}{r^2}\rangle$ per gli stati dell'idrogeno. Si possono calcolare esplicitamente, ma qua riportiamo solo il risultato:
\begin{equation*}
\left\langle\frac{1}{r}\right\rangle_{n,l,m} = \frac{Z}{a_0n^2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\langle\frac{1}{r^2}\right\rangle_{n,l,m} = \frac{Z^2}{a_0^2n^3(l+\frac{1}{2})}
\end{equation*}
dove $a_0 = \frac{\hbar}{mc\alpha}$ è il raggio di Bohr. Abbiamo tutti gli ingredienti per calcolare il contributo energetico dato da questa correzione, ricordando che $E_n = -\frac{Z^2\alpha^2mc^2}{2n^2}$, otteniamo:
\begin{equation*}
\langle W_{REL}\rangle_{n,l,m} &= -\frac{1}{2mc^2}E_n^2 - \frac{1}{2mc^2}\frac{Z^2\hbar^2c^2\alpha^2Z^2}{a_0^2n^3(l+\frac{1}{2})} - \frac{E_nZ\hbar c\alpha Z}{a_0n^2mc^2}
\end{equation*}
Semplificando e raggruppando i termini:
\begin{equation*}
\langle W_{REL}\rangle_{n,l,m} &= \frac{E_nZ^2\alpha^2}{4n^2} + \frac{E_n\alpha^2Z^2}{n(l+\frac{1}{2})} - \frac{E_nZ^2\alpha^2}{n^2}
\end{equation*}
che può essere ulteriormente riscritta come:
\begin{equation*}
\langle W_{REL}\rangle_{n,l,m} = E_nZ^2\alpha^2\left[\frac{1}{n(l+\frac{1}{2})} - \frac{3}{4n^2}\right] = - E_n\frac{Z^2\alpha^2}{n^2}\left[\frac{3}{4} - \frac{n}{(l+\frac{1}{2})} \right]
\end{equation*}
Questa correzione ha un impatto significativo sullo spettro energetico dell'atomo di idrogeno. Infatti dal momento che $E_n < 0$ (energia di legame), il segno complessivo della correzione dipende dal termine tra parentesi quadre. Quindi per verificare il segno del termine tra parentesi, consideriamo:
Quindi il termine tra le parentesi quadre è sempre negativo, perciò satura il $-$ davanti ad $E_n$ e siccome quest'ultima è negativa, il contributo anche sarà negativo, abbassando ulteriormente l'energia imperturbata. La correzione relativistica cinetica che abbiamo calcolato porta a uno splitting dei livelli energetici che dipende dal numero quantico $l$, rompendo la degenerazione prevista dall'equazione di Schrödinger. Infatti la presenza di questo termine rompe la simmetria di Lenz data dal potenziale Coulombiano, eliminando così la degenerazione.
Il termine di Darwin non può essere ricavato con lo stesso approccio della correzione relativistica all'energia cinetica, infatti è attribuibile alla non località del potenziale, per via della struttura dell'elttrone. Quindi nel presente articolo verrà fornito direttamente Nella Hamiltoniana completa, esso appare come:
\begin{equation*}
W_{Darwin} = \frac{\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2 V(r)
\end{equation*}
Sostituendo l'espressione del potenziale coulombiano:
\begin{equation*}
W_{Darwin} = \frac{\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2\left(-\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\right) = -\frac{\hbar^3}{8m^2c}Z\alpha\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)
\end{equation*}
dove abbiamo espresso il termine utilizzando la costante di struttura fine $\alpha$.
Un elemento chiave nel calcolo del termine di Darwin è la valutazione di $\nabla^2(1/r)$. In coordinate sferiche, il laplaciano di $1/r$ è dato da:
\begin{equation*}
\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{1}{r}\right) + \frac{2}{r}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{2}{r^3} - \frac{2}{r^3} = 0 \quad \text{per} \quad r \neq 0
\end{equation*}
Questo risultato indica che $\nabla^2(1/r) = 0$ per ogni $r \neq 0$. Tuttavia, la funzione $1/r$ presenta una singolarità nell'origine, dove la derivata seconda non è ben definita. Vogliamo dimostrare che:
\begin{equation*}
\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = -4\pi\delta(\vec{r})
\end{equation*}
dove $\delta(\vec{r})$ è la funzione delta di Dirac tridimensionale. Per dimostrare questa relazione, consideriamo un volume sferico di raggio $\varepsilon$ centrato nell'origine. Definiamo una funzione $g_\varepsilon(r)$ che va come $1/r$ nella regione $r > \varepsilon$ e ha un valore finito $1/\varepsilon$ per $r < \varepsilon$. Consideriamo l'integrale:
\begin{equation*}
I(\varepsilon) = \int d^3r \, f(\vec{r}) \, \nabla^2 g_\varepsilon(\vec{r})
\end{equation*}
dove $f$ è una funzione di test regolare. Nel limite $\varepsilon \to 0$, $f(\vec{r}) \to f(0) $, inoltre possiamo sfruttare il fatto che $\nabla^2(1/r) = 0$ per $r \neq 0$ e scrivere:
\begin{equation*}
I(\varepsilon) = f(0)\int_0^{\varepsilon} d^3r \, \nabla^2 g_\varepsilon(\vec{r})
\end{equation*}
Siccome il laplaciano è la divergenza del gradiente, possiamo applicare il teorema della divergenza:
\begin{equation*}
I(\varepsilon) = f(0) \int_{S_\varepsilon} \vec{\nabla} g_\varepsilon(\vec{r}) \cdot d\vec{S} \approx - f(0) \cdot 4\pi\varepsilon^2 \cdot \frac{1}{\varepsilon^2} = - 4\pi f(0)
\end{equation*}
Il penultimo passaggio viene dal fatto che $\vec{\nabla} g_\varepsilon(\vec{r})\sim -\frac{1}{\varepsilon^2}$ e, siccome $\varepsilon\ll 1$, approssimiamo $\frac{1}{\varepsilon^2}$ come costante all'interno della sfera di raggio $\varepsilon$. Questo dimostra che $\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta(\vec{r})$.
Sostituendo il risultato della sezione precedente nel termine di Darwin, si trova:
\begin{equation*}
W_{Darwin} = -\frac{\hbar^3}{8m^2c^3}Z\alpha \cdot (-4\pi\delta(\vec{r})) = \frac{\hbar^3}{2m^2c^3}Z\alpha\pi\delta(\vec{r})
\end{equation*}
Dal momento che la funzione delta di Dirac ha effetto solo nell'origine, il termine di Darwin contribuirà solo per gli stati la cui funzione d'onda ha un valore non nullo nell'origine. Negli atomi idrogenoidi, solo gli orbitali $s$ (con $l=0$) hanno densità di probabilità non nulla nell'origine, pertanto il termine di Darwin avrà effetto solo su questi. Per calcolare il valore di aspettazione di questo termine per gli stati $ns$ ($n$ generico, $l=0$), dobbiamo valutare:
\begin{equation*}
\langle W_{Darwin} \rangle_{n,0,0} = \frac{\hbar^3}{2m^2c^3}Z\alpha\pi \langle n,0,0|\delta(\vec{r})|n,0,0\rangle
\end{equation*}
Il valore di aspettazione della delta di Dirac per gli stati $s$ è:
\begin{equation*}
\langle n,0,0|\delta(\vec{r})|n,0,0 \rangle = \frac{Z^3}{\pi n^3 a_0^3}
\end{equation*}
dove $a_0$ è il raggio di Bohr. Sostituendo e semplificando si trova:
\begin{equation*}
\langle W_{Darwin} \rangle_{n,0,0} = \frac{\hbar^3}{2m^2c^3}Z\alpha\pi \cdot \frac{Z^3}{\pi n^3 a_0^3}= \frac{\hbar^3 Z^4\alpha}{2m^2c^3 n^3 a_0^3}
\end{equation*}
Esprimendo il raggio di Bohr $a_0 = \frac{\hbar}{mc\alpha}$ e sostituendo:
\begin{equation*}
\langle W_{Darwin} \rangle_{n,l=0,m} = \frac{\hbar^3 Z^4\alpha}{2m^2c^3 n^3} \cdot \frac{m^3c^3\alpha^3}{\hbar^3} = \frac{Z^4\alpha^4 mc^2}{2n^3}
\end{equation*}
Ricordando che l'energia non perturbata è $E_n = -\frac{Z^2\alpha^2mc^2}{2n^2}$, possiamo riscrivere:
\begin{equation*}
\langle W_{Darwin} \rangle_{n,l=0,m} = -E_n \frac{Z^2\alpha^2}{n}
\end{equation*}
Ricapitolando, il termine di Darwin contribuisce solo agli stati con momento angolare orbitale $l=0$ (orbitali $s$). Poiché $E_n < 0$ e il termine è proporzionale a $-E_n$, il suo effetto è di aumentare l'energia dello stato, riducendo l'energia di legame. Inoltre è proporzionale a $Z^4\alpha^4$, il che indica che diventa più significativo per elementi con alto numero atomico.
Il terzo contributo alla struttura fine è dato dall'interazione spin-orbita, che è rappresentata dal termine:
\begin{equation*}
W_{SO} = \frac{1}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{dV(r)}{dr}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}
\end{equation*}
Questo termine può essere compreso euristicamente attraverso un'analisi semi-classica, anche se tale derivazione presenta alcune imprecisioni. L'idea fondamentale è di considerare il sistema nel sistema di riferimento dell'elettrone, dove il protone appare come una carica in movimento attorno all'elettrone, generando così un campo magnetico.
Nel sistema di riferimento dell'elettrone, il protone si muove lungo un'orbita circolare, generando un campo magnetico. Dalla legge di Biot-Savart, possiamo scrivere:
\begin{equation*}
\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3}
\end{equation*}
dove $I$ è la corrente equivalente del protone in movimento. Questa corrente può essere espressa come:
\begin{equation*}
I = \frac{Ze \cdot v}{2\pi r}
\end{equation*}
dove $v$ è la velocità orbitale del protone nel sistema di riferimento dell'elettrone. Integrando lungo l'orbita circolare e considerando che $\oint d\mathbf{l} = 2\pi r$, otteniamo il modulo del campo magnetico:
\begin{equation*}
B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{Zev}{2\pi r} \cdot \frac{2\pi r \cdot r}{r^3} = \frac{\mu_0 Ze vr}{4\pi r^3}
\end{equation*}
Possiamo esprimere $\mathbf{L}$ in termini della velocità e della massa: $\mathbf{L} = m\mathbf{r} \times \mathbf{v}$, quindi $L = mvr$ per un'orbita circolare. Sostituendo:
\begin{equation*}
B = \frac{\mu_0 Ze}{4\pi r^3} \cdot \frac{L}{m} = \frac{\mu_0 Ze L}{4\pi m r^3}
\end{equation*}
Utilizzando la relazione $\mu_0\varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$, possiamo riscrivere:
\begin{equation*}
B = \frac{Ze}{4\pi\varepsilon_0 mc^2} \cdot \frac{L}{r^3}
\end{equation*}
L'energia di interazione tra un momento magnetico $\mu$ e un campo magnetico $B$ è $E = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}$. Se pensassimo l'elettrone come una piccola sfera con carica distribuita sulla sua superficie, il suo momento magnetico sarebbe $\mu = AI= \pi r_e^2\frac{ev}{2\pi r_e} = \frac{e}{2m_e}S$,dove $S$ sarebbe il momento angolare di spin, che in altre parole sarebbe il momento angolare dell'elettrone. Abbiamo temporaneamente omesso il fattore giromagnetico $g_s \approx 2$ per semplicità (questo errore sarà compensato da un'altra imprecisione nella derivazione semi-classica). Pertanto, considerando i moduli, si ha:
\begin{equation*}
E =\vec{\mu} \cdot \vec{B}= \frac{e}{2m}S \cdot \frac{Ze}{4\pi\varepsilon_0 mc^2} \cdot \frac{L}{r^3} = \frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 m^2c^2} \cdot \frac{1}{r^3} \cdot \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}
\end{equation*}
Ricordando la forma del potenziale coulombiano, $V(r) = -\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}$, possiamo verificare che:
\begin{equation*}
\frac{dV(r)}{dr} = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}
\end{equation*}
quindi:
\begin{equation*}
\frac{1}{r}\frac{dV(r)}{dr} = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^3}
\end{equation*}
Questo ci permette di riscrivere l'energia di interazione spin-orbita come:
\begin{equation*}
W_{SO} = \frac{1}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{dV(r)}{dr}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}
\end{equation*}
che corrisponde esattamente al termine presente nell'Hamiltoniana completa.
Per calcolare il contributo dell'interazione spin-orbita all'energia, dobbiamo valutare il valore di aspettazione di $W_{SO}$ sugli autostati non perturbati. Tuttavia, l'operatore $\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}$ non è diagonale nella base $|n,l,m_l,m_s\rangle$. Conviene quindi utilizzare una base diversa. Definiamo il momento angolare totale $\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}$. Da questa definizione segue che:
\begin{equation}
\mathbf{J}^2 = \mathbf{L}^2 + \mathbf{S}^2 + 2\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}
\end{equation}
Quindi:
\begin{equation}
\mathbf{L} \cdot \mathbf{S} = \frac{1}{2}(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)
\end{equation}
L'operatore $W_{SO}$ può quindi essere riscritto come:
\begin{equation}
W_{SO} = \frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 m^2c^2}\frac{1}{r^3}\frac{1}{2}(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)
\end{equation}
Nella base degli autostati $|n,l,j,m_j\rangle$, dove $j$ è il numero quantico del momento angolare totale e $m_j$ la sua proiezione, gli operatori $\mathbf{J}^2$, $\mathbf{L}^2$ e $\mathbf{S}^2$ sono diagonali, con autovalori:
\begin{equation}
\mathbf{J}^2 |n,l,j,m_j\rangle = \hbar^2 j(j+1) |n,l,j,m_j\rangle
\end{equation}
\begin{equation}
\mathbf{L}^2 |n,l,j,m_j\rangle = \hbar^2 l(l+1) |n,l,j,m_j\rangle
\end{equation}
\begin{equation}
\mathbf{S}^2 |n,l,j,m_j\rangle = \hbar^2 s(s+1) |n,l,j,m_j\rangle
\end{equation}
Per l'elettrone, sappiamo che $s = 1/2$, quindi $s(s+1) = 3/4$. Inoltre, è importante notare che per $l = 0$ (orbitali $s$), l'unico valore possibile per $j$ è $j = 1/2$, e in questo caso non c'è interazione spin-orbita.
Per $l > 0$, dobbiamo calcolare il valore di aspettazione di $\frac{1}{r^3}$. Per gli stati idrogenoidi, si dimostra che:
\begin{equation}
\left\langle\frac{1}{r^3}\right\rangle_{n,l,j,m_j} = \frac{Z^3}{a_0^3 n^3 l (l+\frac{1}{2})(l+1)}
\end{equation}
dove $a_0$ è il raggio di Bohr. Combinando tutti questi elementi, otteniamo:
\begin{align}
\langle W_{SO} \rangle_{n,l,j,m_j} &= \frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 m^2c^2} \cdot \frac{Z^3}{a_0^3 n^3 l (l+\frac{1}{2})(l+1)} \cdot \frac{\hbar^2}{2}[j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4}] \\
&= \frac{Z^4 e^2 \hbar^2}{16\pi\varepsilon_0 m^2c^2 a_0^3 n^3 l (l+\frac{1}{2})(l+1)}[j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4}]
\end{align}
Utilizzando le relazioni $a_0 = \frac{\hbar}{mc\alpha}$ e $\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}$, e ricordando che $E_n = -\frac{Z^2\alpha^2mc^2}{2n^2}$, possiamo riscrivere:
\begin{align}
\langle W_{SO} \rangle_{n,l,j,m_j} &= \frac{Z^4\alpha^4 mc^2}{4n^3 l (l+\frac{1}{2})(l+1)}[j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4}] \\
&= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2} \cdot \frac{1}{n l (l+\frac{1}{2})(l+1)}[j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4}]
\end{align}
Dalla composizione del momento angolare, quando $l > 0$ e $s = 1/2$, abbiamo due possibilità per $j$: $j = l + 1/2$ o $j = l - 1/2$. Analizziamo entrambi i casi:
Sostituendo $j = l + 1/2$ nell'espressione precedente:
\begin{align}
\langle W_{SO} \rangle_{n,l,j=l+1/2,m_j} &= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2} \cdot \frac{1}{n l (l+\frac{1}{2})(l+1)}[(l+\frac{1}{2})(l+\frac{3}{2}) - l(l+1) - \frac{3}{4}] \\
&= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2} \cdot \frac{1}{n l (l+\frac{1}{2})(l+1)}[l^2 + 2l + \frac{3}{4} - l^2 - l - \frac{3}{4}] \\
&= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2} \cdot \frac{l}{n l (l+\frac{1}{2})(l+1)} \\
&= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2n} \cdot \frac{1}{(l+\frac{1}{2})(l+1)}
\end{align}
Analogamente, per $j = l - 1/2$:
\begin{align}
\langle W_{SO} \rangle_{n,l,j=l-1/2,m_j} &= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2} \cdot \frac{1}{n l (l+\frac{1}{2})(l+1)}[(l-\frac{1}{2})(l+\frac{1}{2}) - l(l+1) - \frac{3}{4}] \\
&= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2} \cdot \frac{1}{n l (l+\frac{1}{2})(l+1)}[l^2 - \frac{1}{4} - l^2 - l - \frac{3}{4}] \\
&= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2} \cdot \frac{1}{n l (l+\frac{1}{2})(l+1)}[-l - 1] \\
&= -\frac{E_n Z^2\alpha^2}{2n} \cdot \frac{-(l+1)}{l(l+\frac{1}{2})(l+1)} \\
&= \frac{E_n Z^2\alpha^2}{2n} \cdot \frac{1}{l(l+\frac{1}{2})}
\end{align}
Il segno del contributo energetico dipende dal valore di $j$, in particolare dal segno del contenuto delle parentesi quadre. Nel caso $j = l + 1/2$, poiché $E_n < 0$, il termine spin-orbita è positivo (aumenta l'energia). Al contrario, per $j = l - 1/2$, il termine è negativo (abbassa l'energia). Fisicamente, questo riflette l'orientamento relativo dello spin rispetto al momento angolare orbitale. Quando spin e momento angolare orbitale sono "paralleli" ($j = l + 1/2$), l'energia aumenta, mentre quando sono "antiparalleli" ($j = l - 1/2$), l'energia diminuisce.
Combinando tutti i contributi (correzione relativistica all'energia cinetica, termine di Darwin e interazione spin-orbita), si ottiene una formula completa per l'energia che dipende solo dai numeri quantici $n$ e $j$, e non separatamente da $l$ o $s$:
\begin{equation}
E_{n,j} = E_n\left[1 + \frac{(Z\alpha)^2}{n^2}\left(\frac{n}{j+\frac{1}{2}} - \frac{3}{4}\right)\right]
\end{equation}
Questo risultato è in accordo con quello che si ottiene risolvendo direttamente l'equazione di Dirac per l'atomo di idrogeno e sviluppandone il risultato.
Un aspetto importante della struttura fine è la degenerazione degli stati energetici. Per un dato valore di $j$, esistono $2j+1$ stati degeneri, corrispondenti ai diversi valori di $m_j$ (da $-j$ a $+j$).
Per il valore massimo di $j$ a un dato $n$ (che è $j = n-1/2$), la degenerazione è $2j+1 = 2n$. Per valori di $j$ minori, sempre ad $n$ fissato, la degenerazione è $2(2j+1)$, dove il fattore 2 tiene conto del fatto che lo stesso valore di $j$ può provenire da due combinazioni diverse di $l$ e $s$, tranne nel caso di $j$ massimo.
Poiché $\alpha \approx 1/137$ è una costante piccola, le correzioni di struttura fine sono circa $\alpha^2 \approx 10^{-4}$ volte più piccole dell'energia di legame principale. Per l'idrogeno, dove l'energia di legame è dell'ordine di alcuni eV, le correzioni di struttura fine sono dell'ordine di alcuni meV, sufficientemente grandi da essere osservate sperimentalmente con tecniche spettroscopiche di precisione.
Lo studio della struttura fine dell'atomo di idrogeno rappresenta un esempio significativo di come l'evoluzione delle teorie fisiche conduca a una comprensione sempre più profonda e accurata della realtà. L'equazione di Schrödinger, pur fornendo una base eccellente per la descrizione quantistica dell'atomo, risulta incompleta quando confrontata con misurazioni spettroscopiche di alta precisione.
I tre termini correttivi analizzati in questo articolo - la correzione relativistica all'energia cinetica, il termine di Darwin e l'interazione spin-orbita - rivelano importanti aspetti fisici precedentemente trascurati:
Il risultato finale è una formula elegante per l'energia che dipende solo da n e j, con correzioni dell'ordine di α², in perfetto accordo con le misurazioni sperimentali. Questo successo teorico anticipa la necessità di una teoria pienamente relativistica dell'elettrone, successivamente sviluppata con l'equazione di Dirac, e costituisce uno dei primi esempi in cui effetti quantistici e relativistici si combinano, aprendo la strada alla moderna elettrodinamica quantistica.
