Numeri Complessi

1. Definizione Iniziale e Numeri Complessi Unitari

I numeri complessi si definiscono a partire da una coppia di numeri reali $(x,y)$:$z = x + iy$, dove $i$ è detta unità immaginaria e $i^2 = -1$.

I numeri $x,y \in \mathbb{R}$ si indicano nel seguente modo:

• $x = \text{Re}(z)$ la parte reale di $z$
• $y = \text{Im}(z)$ la parte immaginaria di $z$

L'insieme dei complessi si indica con $\mathbb{C}$.

Esempio Fondamentale:

• $x^2 - 1 = 0$ ha soluzioni nei reali: $x = \pm 1$
• $z^2 + 1 = 0$ con $x$ la $\mathbb{R}$ soluzione mentre $z = \pm i$ è soluzione in $\mathbb{C}$

Teorema Fondamentale dell'Algebra

Sia $P_n(z) = a_0 + a_1z + ... + a_mz^m$ con $a_i \in \mathbb{C}$ $\forall i=1,...,n$Questo polinomio ha sempre $n$ radici, cioè preso $z = z_i$, $P(z_i) = 0$ con $i = 1,...,n$.

2. Rappresentazione nel Piano

Possiamo rappresentare il numero complesso $z = x + iy$ in un piano, questo perché $\mathbb{C}$ è isomorfo a $\mathbb{R}^2$.

Definizione di Spazio Vettoriale

$V$ è uno spazio vettoriale sul campo $F$ se sono definite l'operazione di somma e di prodotto per scalari e valgono:

• $\forall v,w \in V$: $(v+w) = (w+v)$ (commutativa)
• $\forall v,w,l \in V$: $(v+w)+l = v+(w+l)$ (associativa)
• Esistenza dell'elemento neutro: $v+o = v = o+v$
• Esistenza dell'inverso: $\exists v+(-v) = o$
• $\forall s,\mu \in F$ e $v,w \in V$: $s(\mu v+w) = sv+sw$
• $(s+\mu)v = sv+\mu v$
• $s(\mu v) = \mu(sv) = (s\mu)v$
• $1 \cdot v = v$ elemento neutro

[INSERIRE IMMAGINE 1: Piano cartesiano con assi Re(z) e Im(z)]

Elementi Fondamentali

Chi è l'elemento neutro?

• Somma è $z = 0$
• Prodotto è $z = 1$

Chi è l'inverso?

• Somma è $(-z)$
• Prodotto è $\frac{1}{z}$ cioè:$z^{-1} = \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}$

[INSERIRE IMMAGINE 2: Piano con angolo θ e punto z⁻¹]

Coordinate Polari

Nel numero complesso dato $z = (\cos \theta) + i(\sin \theta)$ dove:$z = |z|(\cos \theta + i\sin \theta)$

• $r = |z|$ modulo $y = r\sin \theta$
• $\theta$ argomento $x = r\cos \theta$

Un particolare modo di scrivere un numero complesso è mediante la formula di Eulero:$z = re^{i\theta}$

Dimostrazione $|z_1 \cdot z_2| = |z_1||z_2|$

$|z_1| = \sqrt{(x_1x_2+y_1y_2)^2 + (x_1y_2-x_2y_1)^2}$$= \sqrt{x_1^2x_2^2 + 2x_1x_2y_1y_2 + y_1^2y_2^2 + x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_1y_2 + x_2^2y_1^2}$$= \sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}$$= \sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}$$= |z_1| \cdot |z_2|$

Operazioni in Forma Polare

$z_1 = |z_1|e^{i\theta_1}$$z_2 = |z_2|e^{i\theta_2}$

Come operazioni:$z_1 \cdot z_2 = |z_1||z_2|e^{i(\theta_1+\theta_2)}$

Calcolo del Prodotto per l'Inverso

Calcoliamo:$z \cdot \frac{1}{z} = \frac{(x+iy)(x-iy)}{x^2+y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} = 1$

Proprietà del Campo Complesso

Vediamo che $\mathbb{C}$ è isomorfo a $\mathbb{R}^2$, infatti presa l'applicazione $(x,y) \in \mathbb{R}^2 \rightarrow z=x+iy \in \mathbb{C}$, questa mantiene la struttura di spazio vettoriale:

$z_1,z_2 \in \mathbb{C}$    $z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \in \mathbb{C}$

Inoltre $\mathbb{C}$ è un campo perché possiamo definire il prodotto:$z_1 \cdot z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+ix_2y_1+ix_1y_2-y_1y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_2y_1+x_1y_2) \in \mathbb{C}$

Ulteriori Proprietà in Forma Polare

Per un numero complesso in forma polare:$z = |z|e^{i\theta}$Il suo inverso sarà:$z^{-1} = \frac{1}{|z|}e^{-i\theta}$

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